关于树宽至多为 3 的图的 Gallai 和 Hajós 猜想

图 $G$ 的路（相应地，圈）分解是 $G$ 的一组边不相交的路（相应地，圈），它们覆盖了 $G$ 的边集。Gallai (1966) 猜想每个具有 $n$ 个顶点的图都存在大小至多为 $\lfloor (n+1)/2\rfloor$ 的路分解，而 Hajós (1968) 猜想每个具有 $n$ 个顶点的 Euler 图都存在大小至多为 $\lfloor (n-1)/2\rfloor$ 的圈分解。Gallai 猜想已在许多图类上得到验证。特别地，Lovász (1968) 对至多有一个偶度顶点的图验证了该猜想，而 Pyber (1996) 对每个圈都包含奇度顶点的图验证了该猜想。另一方面，Hajós 猜想仅对最大度为 $4$ 的图和平面图得到了验证。在本文中，我们对树宽至多为 $3$ 的图验证了 Gallai 和 Hajós 猜想。此外，我们证明了树宽至多为 $3$ 且不存在大小至多为 $\lfloor n/2\rfloor$ 的路分解的图仅有的情况是同构于 $K_3$ 或 $K_5-e$。最后，我们利用本文开发的技术，对最大度至多为 $4$ 的图以及围长至少为 $6$ 的平面图给出了 Gallai 和 Hajós 猜想的新证明。