图的笛卡尔积的盖莱路径分解猜想

设$G$为阶为$n$的图。$G$的一条路径分解$\mathcal{P}$是覆盖$G$所有边的一组边不交路径。令$p(G)$表示$G$的路径分解所需的最少路径数。盖莱猜想：若$G$连通，则$p(G)\leq \lceil\frac{n}{2}\rceil$。令$n_o(G)$表示$G$中奇度顶点的个数。Lovász证明了若$G$是连通图且所有顶点度数均为奇数，即$n_o(G)=n$，则$p(G)=\frac n 2$。本文中，我们证明若$G$是阶为$m\geq 2$的连通图且$p(G)=\frac{n_o(G)}{2}$，$H$是阶为$n$的连通图，则$p(G\Box H)\leq\frac{mn}{2}$。进一步，我们证明若下列之一成立，则$p(G)=\frac{n_o(G)}{2}$：（\romannumeral1）$G$是一棵树；（\romannumeral2）$G=P_n\Box T$，其中$n\geq 4$且$T$是一棵树；（\romannumeral3）$G=P_n\Box H$，其中$H$是一个偶图。