1-因子分解与哈密顿分解猜想 III：近似分解

在一系列四篇论文中，我们通过统一的方法对所有足够大的 $n$ 证明了以下结果：(i) [1-因子分解猜想] 假设 $n$ 为偶数且 $D\geq 2\lceil n/4\rceil -1$。则任意 $n$ 个顶点上的 $D$-正则图 $G$ 都可以分解为完美匹配。等价地，$\chi'(G)=D$。(ii) [哈密顿分解猜想] 假设 $D \ge \lfloor n/2 \rfloor$。则任意 $n$ 个顶点上的 $D$-正则图 $G$ 都可以分解为哈密顿圈和至多一个完美匹配。(iii) 我们证明了关于给定最小度图中边不相交哈密顿圈数量的最优结果。据 Dirac 所言，(i) 最初于 20 世纪 50 年代提出。(ii) 和 (iii) 回答了 Nash-Williams 在 1970 年提出的问题。上述界是最佳的。在本文中，我们证明了以下结论：假设 $G$ 接近于完全平衡二部图或两个等大小团的并。如果给定一组合适的路径系统，它们覆盖了 $G$ 的一组“例外”顶点和边，那么我们可以将这些路径系统扩展为 $G$ 的近似哈密顿圈（或在适当情况下为完美匹配）分解。