1-因子分解与哈密顿分解猜想之证明 IV：两个团情形的例外系统

在一系列四篇论文中，我们对所有足够大的 $n$ 证明了以下结果（通过一种统一方法）：(i) [1-因子分解猜想] 假设 $n$ 为偶数且 $D\geq 2\lceil n/4\rceil -1$。则每个具有 $n$ 个顶点的 $D$-正则图 $G$ 都有一个完美匹配分解。等价地，$\chi'(G)=D$。(ii) [哈密顿分解猜想] 假设 $D \ge \lfloor n/2 \rfloor$。则每个具有 $n$ 个顶点的 $D$-正则图 $G$ 都有一个分解为哈密顿圈和至多一个完美匹配的分解。(iii) 我们证明了关于给定最小度的图中边不相交哈密顿圈数量的一个最优结果。据 Dirac 所述，(i) 最初于 20 世纪 50 年代提出。(ii) 和 (iii) 回答了 Nash-Williams 于 1970 年提出的问题。上述界是最佳的。在本文中，我们证明了关于稀疏图分解为路系统的结果。这些结果在 $G$ 接近两个不相交团的并的情形下用于证明 (i) 和 (ii)。