1-因子分解与哈密顿分解猜想之证明 II：二部图情形

在一系列四篇论文中，我们通过统一的方法对所有充分大的 $n$ 证明了以下结果：(i) [1-因子分解猜想] 假设 $n$ 为偶数且 $D \geq 2\lceil n/4\rceil -1$。则任意 $n$ 个顶点上的 $D$-正则图 $G$ 可分解为完美匹配。等价地，$\chi'(G)=D$。(ii) [哈密顿分解猜想] 假设 $D \ge \lfloor n/2 \rfloor$。则任意 $n$ 个顶点上的 $D$-正则图 $G$ 可分解为哈密顿圈和至多一个完美匹配。(iii) [哈密顿圈的最优打包] 假设 $G$ 是一个 $n$ 个顶点且最小度 $\delta\ge n/2$ 的图。则 $G$ 包含至少 ${\rm reg}_{\rm even}(n,\delta)/2 \ge (n-2)/8$ 条边不相交的哈密顿圈。这里 ${\rm reg}_{\rm even}(n,\delta)$ 表示在 $n$ 个顶点且最小度为 $\delta$ 的图中可保证存在的最大偶正则生成子图的度。据 Dirac 所述，(i) 最初于 20 世纪 50 年代提出。(ii) 以及 (iii) 中 $\delta= \lceil n/2 \rceil$ 的特例回答了 Nash-Williams 在 1970 年提出的问题。上述所有界都是最佳的。在本文中，我们针对 $G$ 接近完全平衡二部图的情况证明了上述结果。