关于随机图二部分解的进一步研究

对于图 $G=(V,E)$，令 $bc(G)$ 表示 $G$ 的两两无公共边的完全二部子图的最小数量，使得 $G$ 的每条边恰好属于其中一个子图。易见，对于任意图 $G$，有 $bc(G) \leq n -\alpha(G)$，其中 $\alpha(G)$ 是 $G$ 的最大独立集的大小。Erd\H{o}s 在 20 世纪 80 年代猜想，对于几乎所有图 $G$ 等式成立，即对于随机图 $G(n,0.5)$，以高概率（即当 $n$ 趋于无穷大时概率趋于 1）有 $bc(G)=n-\alpha(G)$。第一作者证明了该猜想略有偏差，指出对于大多数趋于无穷大的 $n$ 值以及 $G=G(n,0.5)$，以高概率有 $bc(G) \leq n-\alpha(G)-1$。我们证明了一个更强的界：存在一个绝对常数 $c>0$，使得以高概率有 $bc(G) \leq n-(1+c)\alpha(G)$。