$G_{n,p}$ 二部团划分的临界概率

图 $G= (V,E)$ 的二部团划分数，记为 $bp(G)$，是 $G$ 的成对边不交完全二部子图的最小数量，使得 $G$ 的每条边恰好属于其中之一。容易看出 $bp(G) \leq n - \alpha(G)$，其中 $\alpha(G)$ 是 $G$ 的独立集的最大大小。Erdős 在 80 年代猜想对几乎所有图 $G$ 等式成立；即，若 $G=G_{n,1/2}$ 则 $bp(G) = n - \alpha(G)$ 以高概率成立。Alon 证明这是错误的。我们证明若取 $G=G_{n,p}$，其中 $p$ 为常数且小于某阈值 $p_0 \approx 0.312$，则 Erdős 的猜想成立。这验证了 Chung 和 Peng 对于这些 $p$ 值的猜想。我们还证明了若 $p_0 < p <1/2$，则 $bp(G_{n,p}) = n - (1 + \Theta(1)) \alpha(G_{n,p})$ 以高概率成立。