超图的最优高效分部分解

我们研究将 $d$ 均匀超图 $H$ 的边划分为由完全 $d$ 部ite超图（$d$ -clique）组成的族 $F$ 的问题。我们证明存在一种划分 $F$，使得 $V(H)$ 中每个顶点 $v$ 至少属于至多 $(\frac{1}{d!} + o_d(1))n^{d-1}/\lg n$ 个成员。该结果解决了由 Erd\H{o}s 和 Pyber (1997) 关于图形的问题，以及 Csirmaz、Ligeti 和 Tardos (2014) 关于超图的最新研究。当 $d=2$ 时，该定理解答了 Chung、Erd\H{o}s 和 Spencer (1983) 40 年来的疑问。我们结果的一个直接推论是改进了统一超图上二进制秘密共享方案最大共享大小的上界。基于 Nechiporuk (1969) 的结果，我们证明具有固定边密度 $\gamma \in (0,1)$ 的每个图都存在总权重最多为 $(\tfrac{1}{2}+o(1))\cdot h_2(\gamma) \frac{n^2}{\lg n}$ 的二分图划分，其中 $h_2$ 为二进制熵函数。我们的构造表明，这类二分图划分可在时间 $O(m)$ 内构建，解答了 Feder 和 Motwani (1995) 的问题，也改进了 Mubayi 和 Tur\'an (2010) 以及 Chavan、Rabinia、Grosu 和 Brocanelli (2025) 的结果。我们还给出一个时间复杂度为 $n^{1+o(1)}$ 的算法，用于寻找 $K_{t,t}$ 的子图，其中 $t = (1-o(1)) \frac{\gamma}{h_2(\gamma)} \lg n$。我们的结果表明，二分图划分在每个固定密度下都是信息论上最优的图表示。我们展示，利用这种简洁表示，一个人可以以 $O(n^2/ \lg n)$ 的时间回答独立集查询和割查询；如果增加常数因子的空间使用，即可在 $O(n^2/\lg \alpha)$ 的时间内计算固定 $\alpha > 1$ 下密集子图问题的 $2\alpha$ 近似解。