寻找反弦图的双团划分

图 $G$ 的双团划分数 $(\text{bp})$ 指的是恰好一次覆盖图边所需的最少完全二部（双团）子图的数量。在本文中，我们证明反弦图（弦图的补图）$G = (V, E)$ 的双团划分数 ($\text{bp}$) 小于其补图（弦图 $G^c = (V, E^c)$）的极大团数 ($\text{mc}$)。我们首先提供基于团树的寻找反弦图最小双团划分的“分而治之”启发式的一般框架。此外，通过应用字典序广度优先搜索寻找称为 moplex 的结构，提出了复杂度为 $O[|V|(|V|+|E^c|)]$ 的启发式。两种启发式都给出大小为 $\text{mc}(G^c)-1$ 的 $G$ 的双团划分。另外，我们证明若补图 $G^c$ 是弦图且团顶点不可约，则两种启发式都能精确求解 $G$ 上的最小双团划分问题。我们还证明若 $G$ 是分裂图，则 $\text{mc}(G^c) - 2 \leq \text{bp}(G) \leq \text{mc}(G^c) - 1$。