双团覆盖与色数

考虑一个色数为$k$的图$G$，以及覆盖$G$的边的一组完全二部图，或称双团的集合。我们证明以下两个结果：\medskip \noindent $\bullet$ 如果这些双团对$G$的边进行划分，则它们的数量至少为$2^{\sqrt{\log_2 k}}$。这是对$\log_2 k$这一简单下界的首次改进，而Alon-Saks-Seymour猜想指出这可以改进至$k-1$。\medskip \noindent $\bullet$ 这些双团的阶数之和至少为$(1-o(1))k\log_2 k$。这在渐近形式上推广了Katona和Szemer\'edi的结果，他们证明了当$G$是团时，该最小值为$k\log_2 k$。