关于分裂图的biclique划分数猜想的反例与相关问题

图 $G$ 的biclique划分数记为 $\operatorname{bp}(G)$，指的是将 $G$ 的边集划分为多个biclique 子图所需的最小数量。Lyu 和 Hicks \cite{lyu2023finding} 提出了如下开放问题：是否存在对于每个共-chord 图或分裂图都成立 $\operatorname{bp}(G) = \operatorname{mc}(G^c) - 1$ 的等式，其中 $\operatorname{mc}(G^c)$ 表示 $G$ 的补图中最大团的数量。若该等式成立，将把著名的 Graham--Pollak 定理推广至更一般的图类。本文通过构造一个分裂图的反例来否定该问题。我们还构造了一个反例的无限序列，并证明了分裂图的biclique划分的某些结构性质。最后，我们解决了 Siewert \cite{siewert2000biclique} 提出的关于是否存在具有二进制秩为 $n$ 的唯一 $n$ 半 tournament 的开放问题。