半线性与地形状图的紧凑表示

我们考察二分图覆盖（biclique covers）的存在性与构造，后者由完全二分图组成其边集的覆盖。二分图覆盖的大小是各二分图大小之和。小规模的二分图覆盖在计算几何中广泛存在，已被证明为图的紧凑表示方法有用。我们给出经典和近期结果的简要概述，涵盖二分图覆盖及其应用，并提出新型图族，具有近线性规模的二分图覆盖。特别是，我们证明半线性图——其边由有界维度空间中的线性关系定义——始终存在规模为 $O(n\mathrm{polylog} n)$ 的二分图覆盖。这一结果概括了包括区间图、排列图和有界盒数图在内的许多已知结果，同时也涵盖如平面中 L 形交叉图等新图类。它直接意味着 Basit、Chernikov、Starchenko、Tao 和 Tran 在《Forum Math. Sigma》2021 中所得出的 Zarankiewicz 问题界限。我们还考虑封闭图（capped graphs），亦称地形状图（terrain-like graphs），其为禁止四顶点特定有序模式的有序图。地形状图包含地形可视性图的诱导子图。我们给出一种初等证明，表明这些图 admits 规模为 $O(n\log^3 n)$ 的二分图分区。这提供了 Agarwal、Alon、Aronov 和 Suri 在《Discrete Comput. Geom.》1994 中关于多边形可视性图的经典结果的简单组合类比。最后，我们证明存在规模为 $n$ 顶点的单位圆图族，其二分图覆盖规模不可能低于 $o(n^{4/3})$，表明我们不太可能在更高阶半代数图上改进 Szemer\'edi-Trotter 类型 incidences 界限。