Word-可表示图与可比较图：最小禁用诱导子图与覆盖数上界

Word-可表示图由半传递定向 characterize，通过存在性来定义。可比较图是另一类已广泛研究的图形，属于 Word-可表示图的子类。这两个类都是可继承的，并且都以最小禁用诱导子图的形式进行特征化。虽然可比较图的最小禁用诱导子图已完全 characterize，但 Word-可表示图的相应特征化仍是开放问题。本文精确确定哪些最小非可比较图也是最小非 Word-可表示图，通过根据它们是否为 Word-可表示图来对最小非可比较图进行分类。因此，我们提供了包含全相邻顶点的最小非 Word-可表示图的完整描述。我们也解答了 Kenkireth 等人提出的关于 Word-可表示图的覆盖数问题。我们证明存在 Word-可表示图，其在 n 个顶点上的可比较图覆盖数为 $\Omega(\log n)$，这表明 universal $O(\log n)$ 上界在 Word-可表示图这一类中是渐进紧致的。对于无三角形的圆图，我们证明其可比较图覆盖数最多为 3，且证明了这一上界是紧致的。更一般地，我们证明对于任何 clique 数 $\omega(G)\geq 24$ 的圆图，其可比较图覆盖数最多为 2。最后，我们识别出四类 Word-可表示图的子类，这些子类中每个图的可比较图覆盖数最多为 2。