字可表示图理论中的人工可验证证明
组合数学
2023-06-19 v2
摘要
一个图若能以某种方式通过词中字母的交替使用来表示，则是字可表示的。字可表示图推广了若干重要且被充分研究的图类，并且可由半传递定向刻画。识别字可表示性是 NP 完全问题，而字可表示图理论的瓶颈在于使人信服某个图不是字可表示的，须知对（即便是公开可用且用户友好的）软件的引用并非总受欢迎。（字可表示性可通过提供一个半传递定向作为可在多项式时间内检验的证书来论证。）文献中出现了各种针对特定图或图族的（通常是特设的）非字可表示性证明，但对于随机选取的图，应预期考察 O(2^{#{edges}}) 个定向并论证它们均非半传递。在本文中，我们开发了自动搜索图非字可表示性的人工可验证证明的方法。作为概念验证，我们提供了由我们公开可用且用户友好的软件自动生成的 Shrikhande 图（16 个顶点、48 条边，6 “行” 证明）与 Clebsch 图（16 个顶点、40 条边，10 “行” 证明）非字可表示性的 “简短” 证明。作为我们研究的副产品，我们修正了多次发表的两个错误（25 个 7 顶点非字可表示图中的两个图实际是字可表示的，而两个 7 顶点非字可表示图被遗漏了）。
引用
@article{arxiv.2110.05405,
title = {Human-verifiable proofs in the theory of word-representable graphs},
author = {Sergey Kitaev and Haoran Sun},
journal= {arXiv preprint arXiv:2110.05405},
year = {2023}
}
备注
A useful tool (Theorem 6) is added and used. The theorem allows to shorten proofs of non-word-representability significantly