可词表示图的无平方单词表示

如果存在一个基于字母表 V 的单词 w，使得对于字母 ${x, y} \in V$，当且仅当 $xy \in E$ 时 $x$ 和 $y$ 在 w 中交替出现，则图 $G = (V, E)$ 是可词表示的。在本文中，我们证明了任何非空的可词表示图都可以由一个不包含非平凡平方的单词来表示。这一结果为 Sergey Kitaev 和 Vadim Lozin 所著《Words and graphs》一书中提出的开放问题提供了肯定的回答。此外，我们证明了对于可词表示图 $G$，如果 $G$ 的表示数为 $k$，则每个表示图 $G$ 的 $k$-均匀单词也是无平方的。而且，我们证明了每个表示图的最小长度单词都是无平方的。接着，我们计算了完全图可能的无平方单词表示的数量。最后，利用由 Thue-Morse 序列生成的无限无平方字符串，我们证明了有无限多个无平方单词可以表示一个非完全的连通可词表示图。