关于冠图的表示数

对于一个图 $G=(V,E)$，如果存在字母表 $V$ 上的一个字 $w$，使得字母 $x$ 和 $y$ 在 $w$ 中交替出现当且仅当 $xy$ 是 $E$ 中的一条边，则称该图是可字表示的。已知任何可字表示图 $G$ 都是 $k$-可字表示的，即存在一个表示 $G$ 的字 $w$，使得每个字母在 $w$ 中恰好出现 $k$ 次。满足此条件的最小 $k$ 称为 $G$ 的表示数。冠图 $H_{n,n}$ 是由完全二部图 $K_{n,n}$ 移去一个完美匹配得到的图。在本文中，我们证明对于 $n\geq 5$，$H_{n,n}$ 的表示数为 $\lceil n/2 \rceil$。该结果不仅完整解决了 \cite{KL} 中的公开问题 7.4.2，还对 \cite{KL} 中关于二部图 3-可字表示性的问题 7.2.7 给出了否定回答。作为副产品，我们得到了一个具有高表示数的图类的新例子。