半线性超图的 Zarankiewicz 问题

若 $V_i \subseteq \mathbb{R}^{d_i}$（对某 $d_i$）且边关系 $E$ 由满足某固定布尔组合的 $s$ 个线性等式与不等式（含 $d_1 + d_2$ 个变量）的点对 $(x_1, x_2) \in V_1 \times V_2$ 构成，则称二部图 $H = \left(V_1, V_2; E \right)$（$|V_1| + |V_2| = n$）为半线性的。我们证明对固定的 $k$，无 $K_{k,k}$ 的半线性 $H$ 的边数与 $n$ 几乎呈线性关系，即对任意 $\varepsilon > 0$ 有 $|E| = O_{s,k,\varepsilon}(n^{1+\varepsilon})$；更一般地，对无 $K_{k, \ldots,k}$ 的半线性 $r$ 部 $r$ 一致超图有 $|E| = O_{s,k,r,\varepsilon}(n^{r-1 + \varepsilon})$。作为一个应用，我们得到如下关联界：给定 $\mathbb{R}^d$ 中 $n_1$ 个点与 $n_2$ 个轴平行侧面的开盒，若其关联图无 $K_{k,k}$，则关联数至多为 $O_{k,\varepsilon}(n^{1+\varepsilon})$。若以任意固定有限半空间集合的平移所截出的多面体替代盒子，该界同样成立。我们还给出了平面上二进盒情形的匹配上界与（超线性）下界，并指出其与 $o$-极小结构中的模型论三分法的一些联系（表明某可定义图几乎线性界的失效允许以可定义方式从该图恢复域运算）。