三部图上的 Zarankiewicz 问题

设 $F$ 为一图，$k \geq 2$ 为整数，记 $\mathrm{ex}_{ \chi \leq k } (n , F)$ 为 $n$ 个顶点、是 $k$ 部图且不含同构于 $F$ 的子图的图的最大边数。函数 $\mathrm{ex}_{ \chi \leq 2} ( n , F)$ 已被众多研究者研究。求 $\mathrm{ex}_{ \chi \leq 2} (n , K_{s,t})$ 是 Zarankiewicz 问题的一个特例。我们证明了三部图上的 Kővári-Sós-Turán 定理的类似结果，即证明了对 $2 \leq s \leq t$ 有 $$\mathrm{ex}_{ \chi \leq 3} (n , K_{s,t} ) \leq \left( \frac{1}{3} \right)^{1 - 1/s} \left( \frac{ t - 1}{2} + o(1) \right)^{1/s} n^{2 - 1/s}$$ 。利用 Bose 和 Chowla 构造的 Sidon 集，我们证明该上界在 $s = 2$ 且 $t \geq 3$ 为奇数时渐近最佳，即对任意 $t \geq 1$ 有 $\mathrm{ex}_{ \chi \leq 3} ( n , K_{2,2t+1} ) = \sqrt{ \frac{t}{3}} n^{3/2} + o(n^{3/2})$。在 $K_{2,t}$ 和 $K_{3,3}$ 的情形，我们利用 Allen、Keevash、Sudakov 和 Verstraëte 的一个结果，证明对所有 $k \geq 3$ 成立类似的上界，并在 $s=t=3$ 时给出更好的常数。最后，我们指出设计理论中的差族与 $\mathrm{ex}_{ \chi \leq 3 } (n ,C_4)$ 之间一个有趣的联系。