关于具有渐近最小Zarankiewicz数的几何二部图

本文研究了具有低维几何表示（即低Ferrers维数）的图中的Zarankiewicz问题。我们的第一个结果揭示了Ferrers维数为三和四的二部图之间的区别：对于Ferrers维数为三的图，有$Z(n;k) \leq 9n(k-1)$；而对于Ferrers维数为四的图，有$Z(n;k) \in \Omega\left(n k \cdot \frac{\log n}{\log \log n}\right)$（Chan & Har-Peled, 2023）（Chazelle, 1990）。作为补充，我们推导出弦二部图的紧上界为$2n(k-1)$，网格交图（GIG）的紧上界为$54n(k-1)$，GIG是一类重要的图，位于四个Ferrers维数中，并涵盖了平面二部图以及矩形的二部交图。此前，GIG的最佳已知界为$Z(n;k) \in O(2^{O(k)} n)$，这由Fox & Pach (2006)和Mustafa & Pach (2016)的结果所蕴含。我们的结果推进了Ferrers维数与极值组合学之间相互作用的研究，并提供了新的见解。