Ryser 猜想的极值超图：二分图线图的连通性

本文考虑一个自然的拓扑排序极值图论问题，即关于图的独立复形 (independence complex) 的连通性在其维度意义上的最小化问题。我们观察到，对于二分图 $G$ 的线图，其独立复形 $\mathcal{I}(G)$ 的连通性下界 $\frac{\dim(\mathcal{I}(G))}{2} - 2$ 是紧的。在我们的主定理中，我们刻画了这些极值例子。该刻画的证明基于拓扑工具。我们研究此问题的动机源于 Ryser 的一个经典猜想。Ryser 猜想指出，任何 $r$-部 $r$-一致超图都有一个顶点覆盖，其大小至多为最大匹配大小的 $(r - 1)$ 倍。对于 $r = 2$，该猜想即为 K"onig 定理。Aharoni 也曾利用优美的拓扑论证证明了 $r = 3$ 的情形。在另一篇论文中，我们刻画了 Ryser 猜想 $3$-一致情形（即 Aharoni 定理）的极值例子，特别是解决了 Lov\'asz 关于 Ryser 极值 $3$-图的一个旧猜想。本文的主要结果将为该刻画提供宝贵的结构性信息。其证明基于这样一个观察：Ryser 极值 $3$-一致超图的链接图 (link graphs) 正是我们在此研究的二分图。