关于细分图的极值数

极值图论的基石之一是 F"uredi 的一个结果,后来由 Alon、Krivelevich 和 Sudakov 重新证明并赋予应有地位,该结果称:若 $H$ 是一侧最大度数为 $r$ 的二部图,则存在常数 $C$,使得每个具有 $n$ 个顶点和 $C n^{2 - 1/r}$ 条边的图都包含 $H$ 的一个副本。当 $H$ 包含 $K_{r,s}$ 的一个副本且 $s$ 关于 $r$ 充分大时,该结果在常数范围内是最优的。我们猜想这是 F"uredi 结果能达到最优的本质上唯一情形,并对 $r = 2$ 证明了该猜想。更确切地说,我们证明:若 $H$ 是一个一侧最大度数为 $2$ 的无 $C_4$ 二部图,则存在正常数 $C$ 和 $\delta$,使得每个具有 $n$ 个顶点和 $C n^{3/2 - \delta}$ 条边的图都包含 $H$ 的一个副本。这回答了 Erd\H{o}s 于 1988 年提出的一个问题。证明依赖于依赖随机选择技术的一个新变体,其本身可能具有独立意义。