Gerbner 关于极大 $F$-自由图稳定性的猜想的反例

设 $F$ 为一个 $(r+1)$-色临界图且 $r\geq 2$，即 $\chi(F)=r+1$ 且 $F$ 中存在一边 $e$ 使得 $\chi(F-e)=r$。Gerbner 近期猜想：每个至少有 $(1-\frac{1}{r})\frac{n^2}{2}- o(n^{\frac{r+1}{r}})$ 条边的 $n$-顶点极大 $F$-自由图包含一个含 $n-o(n)$ 个顶点的诱导完全 $r$-部图。设 $F_{s,k}$ 为由 $s$ 个 $C_{2k+1}$ 副本共享一条公共边所得的图。本文中，我们证明对所有 $k\geq 2$，若 $G$ 是一个至少有 $n^{2}/4 - o(n^{\frac{s+2}{s+1}})$ 条边的 $n$-顶点极大 $F_{s,k}$-自由图，则 $G$ 包含一个含 $n-o(n)$ 个顶点的诱导完全二部图。我们还证明该结果是最好可能的。这否定了 $r=2$ 时的 Gerbner 猜想。