Erdős-Rothschild 关于禁止单色团的边染色问题

设 $\mathbf{k} := (k_1,\dots,k_s)$ 为自然数序列。对于图 $G$，令 $F(G;\mathbf{k})$ 表示用颜色 $1,\dots,s$ 对 $G$ 的边染色，使得对每个 $c \in \{1,\dots,s\}$，颜色 $c$ 的边不包含阶为 $k_c$ 的团的方式数。记 $F(n;\mathbf{k})$ 为所有 $n$ 个顶点的图 $G$ 上 $F(G;\mathbf{k})$ 的最大值。该问题最早由 Erdős 和 Rothschild 于 1974 年提出，但仅在极少数非平凡情形下得到解决。我们证明，对每个 $\mathbf{k}$ 和 $n$，存在一个 $n$ 个顶点的完全多部图 $G$ 使得 $F(G;\mathbf{k}) = F(n;\mathbf{k})$。此外，对每个 $\mathbf{k}$ 我们构造了一个有限优化问题，其最大值等于当 $n$ 趋于无穷时 $\log_2 F(n;\mathbf{k})/{n\choose 2}$ 的极限。我们最后一个结果是关于完全多部图 $G$ 的稳定性定理，借助该优化问题的解描述了满足 $F(G;\mathbf{k}) = F(n;\mathbf{k}) \cdot 2^{o(n^2)}$ 的此类 $G$ 的渐近结构。