广义 Erdős-Rothschild 问题的框架及三角双色情况的解决

1974 年的 Erdős-Rothschild 问题询问给定正整数 n、s、k 时，一个 n 顶点图中最多包含多少个 s 边色着色，以避免单色 K_k 子图。在本文中，我们系统地研究将该问题推广到给定 K_k 的禁止色着�族的一般化问题。该问题通常表现为二分型：对于某些 s 值，极端图是“平凡”的图，即在 k-1 部分上的 Turán 图，不包含 K_k；而对于其他值，这个图不再是极端图，确定极端图变得更加困难。我们推广了为单色 Erdős-Rothschild 问题开发的框架到一般设置，并在该框架中工作以获得我们的主要结果，这些结果涉及两个特定的禁止族：恰好两种颜色的三角形，以及误彩色完部图。对于所有 s ≥ 2 和较大的 n，我们几乎完全解决了这些问题。在两种情况下，我们获得一个无限族结构对于某些 s 是极端的，这是此类问题的第一类结果。我们结果的一个推论是，对于每种非单色配色模式，每个极端图都是完全分部图。我们的工作扩展了 Hoppen、Lefmann 和 Schmidt 以及 Benevides、Hoppen 和 Sampaio 的工作。