Erdős 匹配猜想的一个推广

设 $\mathcal{H}=(V,\mathcal{E})$ 为具有 $n$ 个顶点的 $r$-一致超图，并固定正整数 $k$ 使得 $1\le k\le r$。$\mathcal{H}$ 的 $k$-\emph{匹配} 是边 $\mathcal{M}\subset \mathcal{E}$ 的集合，使得基数为 $k$ 的 $V$ 的每个子集最多包含在 $\mathcal{M}$ 的一个元素中。$\mathcal{H}$ 的 $k$-匹配数是 $k$-匹配的最大基数。Erdős 提出的一个著名问题是，在对其 $1$-匹配数的约束下，求 $r$-一致超图中的最大边数。在本文中，我们研究了一个更一般的问题，即在 $n$ 个顶点的 $r$-一致超图中，在其 $k$-匹配数严格小于 $a$ 的约束下，确定其最大边数。该问题也可以看作是著名的 $k$-相交问题的推广。我们提出了用于解决此问题的候选超图，并证明了当 $n\ge 4r\binom{r}{k}^2\cdot a$ 时，极值超图位于此候选集合之中。