关于 k-边极大 r-一致超图的大小

设 $H=(V,E)$ 为一个超图，其中 $V$ 是顶点集，$E$ 是 $V$ 的非空子集构成的边集。若 $H$ 的所有边都具有相同的基数 $r$，则 $H$ 是一个 $r$-一致超图；若 $E$ 由 $V$ 的所有 $r$-子集组成，则 $H$ 是一个完全 $r$-一致超图，记为 $K_n^r$，其中 $n=|V|$。若 $V'\subseteq V$ 且 $E'\subseteq E$，则称超图 $H'=(V',E')$ 为 $H=(V,E)$ 的子超图。若 $r$-一致超图 $H=(V,E)$ 的每个子超图的边连通度至多为 $k$，但对任意边 $e\in E(K_n^r)\setminus E(H)$，$H+e$ 至少包含一个边连通度不小于 $k+1$ 的子超图，则称 $H$ 为 $k$-边极大超图。设 $k$ 和 $r$ 为整数且 $k\geq2$、$r\geq2$，令 $t=t(k,r)$ 为满足 $(^{t-1}_{r-1})\leq k$ 的最大整数。即 $t$ 是满足 $(^{t-1}_{r-1})\leq k<(^{t}_{r-1})$ 的整数。我们证明：若 $H$ 是满足 $n=|V(H)|\geq t$ 的 $r$-一致 $k$-边极大超图，则 ($i$) $|E(H)|\leq (^{t}_{r})+(n-t)k$，且该上界是最佳可能的；($ii$) $|E(H)|\geq (n-1)k -((t-1)k-(^{t}_{r}))\lfloor\frac{n}{t}\rfloor$，且该下界是最佳可能的。这推广了文献 [8] 和 [6] 中的先前结果。