关于线性均匀超图的线性 girth 约束数量

设 $r\geqslant 3$ 为整数，顶点集合为 $[n]$ 的超图若每个边由 $r$ 个顶点组成，且任意两个不同边最多共享一个顶点，则称为 $r$-均匀线性超图。给定一个由 $r$-均匀线性超图组成的族 $\mathcal{H}$，记 $Forb_r^L(n,\mathcal{H})$ 为顶点集合为 $[n]$ 的 $r$-均匀线性超图的集合，其中不包含 $\mathcal{H}$ 中的任何成员作为子图。$r$-均匀线性环 $C_\ell^r$（记作 $C_\ell^r$）指由 $(r-1)\ell$ 个顶点构成的 $r$-均匀线性超图，其边可排序为 $\boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_\ell$，满足若 $j=i\pm 1$（模 $\ell$）则 $|\boldsymbol{e}_i\cap \boldsymbol{e}_j|=1$，否则为 0。$r$-均匀线性超图的线性 girth 为其中最小的 $\ell$ 使得其包含 $C_\ell^r$。记 $Forb_L(n,r,\ell)=Forb_r^L(n,\mathcal{H})$ 当 $\mathcal{H}=\{C_i^r:\, 3\leqslant i\leqslant \ell\}$ 时，其中 $Forb_L(n,r,\ell)$ 为所有在 $[n]$ 上且线性 girth 大于 $\ell$ 的 $r$-均匀线性超图的集合。对于整数 $r\geqslant 3$ 和 $\ell\geqslant 4$，Balogh 和 Li 证明 $|Forb_L(n,r,\ell)|= 2^{O(n^{1+1/\lfloor \ell/2\rfloor})}$。通过概率删除法可得到 |Forb_L(n,r,\ell)|\geqslant 2^{c\cdot n^{1+1/\ell}。结合已知结果 $|Forb_L(n,r,3)|= 2^{o(n^{2})}$ 且 $|Forb_L(n,3,4)|= 2^{\Theta(n^{3/2})}$，我们通过分析随机贪心高线性 girth $r$-均匀线性超图过程，证明 $|Forb_L(n,r,\ell)|\geqslant 2^{n^{1+1/(\ell-1)-O(\log\log n/\log n)}}$，其中 $r\geqslant 4,\ell\geqslant 4$，或 $r=3,\ell\geqslant 5$。