$r$-一致线性圈的线性 Turán 数及相关 Ramsey 数

一个 $r$-一致超图被称为 $r$-图。如果每两条边至多在一个顶点相交，则称该超图为线性的。给定一个线性 $r$-图 $H$ 和一个正整数 $n$，线性 Turán 数 $ex_L(n,H)$ 是不包含 $H$ 作为子图的线性 $r$-图 $G$ 的最大边数。对于每个 $\ell\geq 3$，令 $C^r_\ell$ 表示长度为 $\ell$ 的 $r$-一致线性圈，这是一个具有边 $e_1,\ldots, e_\ell$ 的 $r$-图，满足 $\forall i\in [\ell-1]$，$|e_i\cap e_{i+1}|=1$，$|e_\ell\cap e_1|=1$，且对于所有其他对 $\{i,j\}, i\neq j$，有 $e_i\cap e_j=\emptyset$。对于所有 $r\geq 3$ 和 $\ell\geq 3$，我们证明了存在仅依赖于 $m$ 和 $r$ 的正常数 $c_{m,r}$ 和 $c'_{m,r}$，使得 $ex_L(n,C^r_{2m})\leq c_{m,r} n^{1+\frac{1}{m}}$ 且 $ex_L(n,C^r_{2m+1})\leq c'_{m,r} n^{1+\frac{1}{m}}$。这回答了 Kostochka、Mubayi 和 Verstra"ete 提出的一个问题。对于偶圈，我们的结果将 Bondy 和 Simonovits 关于偶圈 Turán 数的结果推广到了线性超图。利用我们关于线性 Turán 数的结果，我们还获得了圈 - 完全超图 Ramsey 数的界。我们证明了存在仅依赖于 $m$ 和 $r$ 的正常数 $a_{m,r}$ 和 $b_{m,r}$，使得 $R(C^r_{2m}, K^r_t)\leq a_{m,r} (\frac{t}{\ln t})^\frac{m}{m-1}$ 且 $R(C^r_{2m+1}, K^r_t)\leq b_{m,r} t^\frac{m}{m-1}$。