3-一致线性超图中圈的图兰数渐近性

设 $\mathcal{F}$ 为一个 $3$-一致线性超图族。$\mathcal F$ 的线性图兰数是在 $n$ 个顶点上不含 $\mathcal{F}$ 中任何成员作为子超图的 $3$-一致线性超图的最大可能边数。本文我们证明五圈 $C_5$（在Berge意义下）的线性图兰数渐近地为 $\frac{1}{3 \sqrt3}n^{3/2}$。我们还证明了四圈 $C_4$ 与 $\{C_3, C_4\}$ 的线性图兰数渐近相等，这加强了 Lazebnik 和 Verstra\"ete 的一个定理。我们建立了长度为 $2k+1$ 的线性圈的线性图兰数与围长大于 $2k-2$ 的图中边的极值数之间的联系。结合我们的结果与 Collier-Cartaino, Graber 和 Jiang 的定理，我们得到对于 $k = 2, 3, 4, 6$，长度为 $2k+1$ 的线性圈的线性图兰数为 $\Theta(n^{1+\frac{1}{k}})$。