Sail 的精确线性 Turán 数

若一个超图中任意两条边至多交于一个顶点，则称其为线性的。Sail（或称 $3$-扇）$F^3$ 是一个 $3$-一致线性超图，由 $3$ 条边 $f_1, f_2, f_3$ 两两交于同一顶点 $v$，以及一条与所有 $f_i$ 交于不同于 $v$ 的顶点处的额外边 $g$ 构成。线性 Tur\'{a}n 数 $ex_{lin}(n, F^3)$ 是指不含 $F^3$ 副本的 $n$ 个顶点上的 $3$-一致线性超图的最大边数。F\"{u}redi 与 Gy\'arf\'as 证明了若 $n = 3k$，则 $ex_{lin}(n, F^3) = k^2$，且此情形下唯一的极值超图为横截设计。他们还证明了若 $n = 3k+2$，则 $ex_{lin}(n, F^3) = k^2+k$，且唯一的极值超图为截断设计（由一个含 $3$ 个组的 $3k+3$ 顶点横截设计移除一个顶点及所有含该顶点的超边得到）以及另外三个小超图。然而，当 $n =3k+1$ 的情形尚属开放。本文中，我们证明若 $n = 3k+1$ 则 $ex_{lin}(n, F^3) = k^2+1$，解决了 F\"{u}redi 与 Gy\'arf\'as 提出的一个问题，从而补全了这一剩余情形。我们还刻画了所有极值超图。该情形的困难在于这些极值例子相当非标准，特别地，它们不像其他情形那样源自横截设计。