线性3-图中的皇冠
组合数学
2021-08-02 v1
摘要
一个线性3-图H = (V, E)是一个顶点集V和一个由V的三元子集（称为边）组成的集合E，使得任意两条不同的边至多交于一个顶点。线性Turán数ex(n, F)是顶点数为n且不含F作为子图的线性3-图的最大边数。我们这里关注的是“皇冠”C，它由三条两两不相交的边（宝石）和第四条边（基）组成，该基与所有宝石相交。我们的主要结果是：每个最小度至少为4的线性3-图都包含一个皇冠。如果将4替换为3，则此结论不成立。事实上，已知的Turán数界限为6⌊(n-3)/4⌋ ≤ ex(n, C) ≤ 2n，并且在提供下界的构造中，除了三个顶点外，所有顶点的度均为3。我们猜想ex(n, C) ~ 3n/2，但即使这个猜想成立，也不意味着我们的主要结果。我们的第二个结果是朝着可能证明ex(n, C) ≤ 3n/2（即在常数误差内确定它）迈出的一步。我们证明了这个陈述的最小反例必须包含某些具有9条边的构型，并且我们猜想所有这些构型都会导致矛盾。
引用
@article{arxiv.2107.14713,
title = {Crowns in linear $3$-graphs},
author = {Alvaro Carbonero and Willem Fletcher and Jing Guo and András Gyárfás and Rona Wang and Shiyu Yan},
journal= {arXiv preprint arXiv:2107.14713},
year = {2021}
}
备注
10 pages, 5 figures, comments welcome