关于 k-王冠线性 Turán 数的上界

若一个超图 $H$ 的每一对顶点最多仅属于一个超边，则称其为\emph{线性}超图。给定 $r$-均匀超图族 $\mathcal{F}$（亦称 $r$-图），若 $r$-图 $H$ 不包含 $\mathcal{F}$ 中任何成员作为子超图，则称 $H$ 为\emph{$\mathcal{F}$-自由}。线性 Turán 数 $ex_r^{\mathrm{lin}}(n,\mathcal{F})$ 指的是在 $n$ 个顶点的 $\mathcal{F}$-自由线性 $r$-图中，边数的最大值。王冠是由三个两两不相交的超边通过添加一条分别与它们每个交于不同顶点的超边而得到的线性 $3$-图。最近，Gy\'arf\'as、Ruszink\'o 和 S\'ark"ozy~[《Acyclic triple systems 的线性 Turán 数》, European J. Combin. (2022)] 着手研究无环 $3$-均匀线性超图的线性 Turán 数的界，包括王冠。我们通过定义 $k$-王冠（记为 $C_{1,k}^r$），即由一条基准超边以及 $k$ 条两两不相交的超边组成，其中每条超边分别与基准在不同顶点处相交。本文给出 $ex_r^{\mathrm{lin}}(n,C_{1,k}^r)$ 的上界，该结果在没有任何辅助配置限制的情况下，改进了 Zhang、Broersma 和 Wang~[《Linear $r$-Graphs 中的广义王冠》, Electron. J. Combin. (2025)] 的最新界。我们还指出，$k\in\{1,2\}$ 的情形分别对应短线性路径 $P_2^r$ 和 $P_3^r$，可单独处理。