圈的外平面图 Turán 数

若一个图存在一种平面画法,使得所有顶点均属于该画法的外表面,则称其为外平面图。设 $H$ 为一图。$H$ 的外平面图 Turán 数记为 $ex_\mathcal{OP}(n,H)$,即不含 $H$ 作为子图的 $n$ 顶点外平面图的最大边数。2021 年,L. Fang 等人确定了圈与路的外平面图 Turán 数。本文利用对偶图技术,为 $ex_\mathcal{OP}(n,C_k)\leq \frac{(2k - 5)(kn - k - 1)}{k^2 - 2k - 1}$ 的尖锐上界给出更简短的证明。