6-环的平面图兰数

设 ${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,T,H)$ 表示不含 $H$ 作为子图的 $n$ 顶点平面图中 $T$ 副本的最大数量。当 $T=K_2$ 时，${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,T,H)$ 为被广泛研究的函数，即 $H$ 的平面图兰数，记为 ${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,H)$。极值平面图课题由 Dowden（2016）开创。他给出了 ${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,C_4)$ 与 ${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,C_5)$ 的尖锐上界。随后，Y. Lan 等人延续该课题并证明 ${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,C_6)\leq \frac{18(n-2)}{7}$。本文给出尖锐上界 ${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,C_6) \leq \frac{5}{2}n-7$（对所有 $n\geq 18$），改进了 Lan 的结果。我们还提出了关于 ${\rm ex}_{\mathcal{P}}(n,C_k)$（$k\geq 7$）的猜想。