$\Theta_6$的平面图兰数

设$\mathcal{F}$为一个非空图族。若图$G$不包含$\mathcal{F}$中任一图作为子图,则称$G$为$\mathcal{F}$-自由的。对于正整数$n$,$\F$的\emph{平面Turán数}记为$\ex_{\p}(n,\F)$,是指$n$个顶点的$\F$-自由平面图的最大边数。令$\Theta_k$为$k\geq 4$个顶点上的Theta图族,即通过在$k$-圈的一对不相邻顶点间连一条边所得的图。Lan、Shi和Song给出了上界$\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_6)\leq \frac{18}{7}n-\frac{36}{7}$,但对于较大的$n$,他们未验证该界是否紧。本文改进了该界,证明$\text{ex}_{\mathcal{P}}(n,\Theta_6)\leq \frac{18}{7}n-\frac{48}{7}$,并进而证明存在无穷多个正整数$n$以及达到该界的$n$顶点$\Theta_6$-自由平面图。