给定边数的无 $C_5/C_6$ 图谱极值的扩展

令 $\mathcal{F}$ 表示一个图集。如果图 $G$ 不包含 $\mathcal{F}$ 中的任何元素作为子图，则称 $G$ 为 $\mathcal{F}$-free 的。Tur\'an 数是具有 $n$ 个顶点的 $\mathcal{F}$-free 图中可能的最大边数。众所周知，经典的 Tur\'an 型极值问题旨在研究固定图的 Tur\'an 数。2010 年，Nikiforov \cite{Nik2} 类似地提出了一个谱 Tur\'an 型问题，要求确定具有 $n$ 个顶点的 $\mathcal{F}$-free 图的最大谱半径。这引起了广泛关注，且许多此类问题即使在经过认真尝试后仍然难以解决，因此被认为是谱极值图论中最引人入胜的问题之一。考虑另一个谱 Tur\'an 型问题很有意义，即确定具有 $m$ 条边的 $\mathcal{F}$-free 图的最大谱半径。记 $\mathcal{G}(m,\mathcal{F})$ 为具有 $m$ 条边且无孤立顶点的 $\mathcal{F}$-free 图的集合。$\mathcal{G}(m,\mathcal{F})$ 中具有最大谱半径的图称为极大图。令 $\theta_{p,q,r}$ 为通过用长度分别为 $p,q$ 和 $r$ 的三条独立路径连接两个不同顶点而形成的 theta 图（长度指边数）。在本文中，我们首先分别确定了 $\mathcal{G}(m,\theta_{1,2,3})$ 和 $\mathcal{G}(m,\theta_{1,2,4})$ 中唯一的极大图。然后我们确定了 $\mathcal{G}(m,C_5)$（对应地 $\mathcal{G}(m,C_6)$）中排除书图（book graph）后的所有极大图。这些结果扩展了先前的一些结果。