色临界图的无符号拉普拉斯谱 Turán 问题

著名的 Turán 定理指出，如果 $G$ 是一个 $n$ 顶点的 $K_{r+1}$-free 图，则 $e(G)\le e(T_{n,r})$，当且仅当 $G$ 为 $r$-部 Turán 图 $T_{n,r}$ 时等号成立。如果图 $F$ 包含一条边，使得删除该边会降低其色数，则称 $F$ 为色临界图。作为对 Turán 定理的推广，Simonovits (1968) 证明了对于任意满足 $\chi (F)=r+1$ 的色临界图 $F$ 以及充分大的 $n$，Turán 图 $T_{n,r}$ 是所有 $n$ 顶点 $F$-free 图中具有最大边数的唯一图。随后，Nikiforov [Electron. J. Combin., 16 (1) (2009)] 从邻接谱半径的角度证明了 Simonovits 定理的谱版本。在本文中，我们展示了 Simonovits 定理在无符号拉普拉斯谱半径方面的推广。我们证明，对于任意满足 $\chi (F)=r+1\ge 4$ 的色临界图 $F$ 以及充分大的 $n$，如果 $G$ 是一个 $n$ 顶点的 $F$-free 图，则 $q(G)\le q(T_{n,r})$，当且仅当 $G=T_{n,r}$ 时等号成立。我们的方法是建立 Keevash、Lenz 和 Mubayi [SIAM J. Discrete Math., 28 (4) (2014)] 准则的无符号拉普拉斯谱版本。因此，我们可以确定广义书图和偶轮图的无符号拉普拉斯谱极图。作为应用，我们的结果给出了 $F$-free 图的度幂的上界。我们证明，如果 $n$ 充分大且 $G$ 是一个具有 $m$ 条边的 $n$ 顶点 $F$-free 图，则 $\sum_{v\in V(G)} d^2(v) \le 2(1- \frac{1}{r})mn$，当且仅当 $G$ 为正则 Turán 图 $T_{n,r}$ 时等号成立。这推广了 Nikiforov 和 Rousseau [J. Combin. Theory Ser B 92 (2004)] 的结果。