带色临界图的边谱 Turán 定理及其应用

经典结果：诺萨尔断言，任意 $m$ 条边的图若其谱半径 $\lambda (G)> \sqrt{m}$，则必含三角形。著名的尼基佐福夫扩展[35]指出：若 $G$ 为 $m$ 条边的图且 $\lambda (G)> \sqrt{(1- {1}/{r})2m}$，则 $G$ 包含闭合子图 $K_{r+1}$。该结果蕴含 Turán 定理与 Wilf 定理，提供了一种关于子结构存在性的新视角。边谱条件在强制子结构方面具有高度的可适用性，因其可适用于任何稀疏图，无论其边密度如何。本文证明：对于任意色临界图 $F$，其色数 $\chi (F)=r+1\ge 4$，若 $m$ 足够大且 $G$ 为 $F$-free 图且有 $m$ 条边，则 $\lambda (G)\le \sqrt{(1- {1}/{r})2m}$，当且仅当 $G$ 为规则完全 $r$ 割图时等式成立。这一结果解决了于与李[52]提出的开放问题，也给出禁止书形图和轮形图的谱边界。其次，我们给出近似二分图 $F$（即删除至多一条边后可变为二分图）的渐近公式与结构刻画。作为应用，我们确定了在禁止某些子结构（包括完全二分图外加一条边、环外加一条边、theta 图等）时，每个整数 $m$ 的唯一 $m$ 条边谱极端图。我们的结果解决了李、赵与邹[24]提出的开放问题，以及刘与李[31]提出的两个猜想。我们的证明基于作者最近确立的边谱稳定性方法。此外，我们发展了一些新的谱技术，包括关于 Perron--Frobenius 特征向量的稳定性结果。