谱图兰定理的一个精细化结果

极值谱图论中一个著名的结论（由 Nosal 和 Nikiforov 得出）指出：若 $G$ 是一个含 $n$ 个顶点的无三角形图，则 $\lambda (G) \le \lambda (K_{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor, \lceil \frac{n}{2} \rceil })$，等号成立当且仅当 $G=K_{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor, \lceil \frac{n}{2} \rceil }$。Nikiforov [Linear Algebra Appl. 427 (2007)] 将这一结果推广到每个整数 $r\ge 2$ 时的无 $K_{r+1}$ 图。这被称为谱图兰定理。最近，Lin、Ning 和 Wu [Combin. Probab. Comput. 30 (2021)] 针对非二部无三角形图证明了该结果的一个精细化版本。在本文中，我们为 Nikiforov 的结果以及 Lin、Ning 和 Wu 的结果提供了另一种证明。我们的证明使我们能够将后一结果推广到非 $r$-部无 $K_{r+1}$ 图。我们的结果精细化了 Nikiforov 的定理，也可视为 Brouwer 定理的一个谱版本。