非二分图的谱 Turán 问题：禁止书形图

书形图 $B_{r+1}$ 定义为由 $r+1$ 个三角形组成的图，这些三角形共享一条公共边，其中 $r\geq0$。Zhai 和 Lin [J. Graph Theory 102 (2023) 502-520] 证明对于 $n\geq\frac{13}{2}r$，若 $G$ 为 $B_{r+1}$-自由图且阶为 $n$，则 $\rho(G)\leq\rho(T_{n,2})$，且等号成立当且仅当 $G\cong T_{n,2}$。注意极端图 $T_{n,2}$ 为二分图。这引发我们对非二分图 $B_{r+1}$-自由图的谱 Turán 问题的研究。对于一般 $r\geq1$，令 $K_{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor,\lceil\frac{n-1}{2}\rceil}^{r, r}$ 为由 $K_{\lceil\frac{n-1}{2}\rceil,\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor}$ 在新增顶点 $v_{0}$ 处添加而来，其中 $v_{0}$ 在每个部分恰有 $r$ 个邻居。我们采用残差指数、Chvátal-Hanson 定理及典型谱极端方法，证明：若 $G$ 为阶为 $n$ 的非二分图 $B_{r+1}$-自由图，则 $\rho(G)\leq\rho\Big(K_{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor,\lceil\frac{n-1}{2}\rceil}^{r, r}\Big)$，且等号成立当且仅当 $G\cong K_{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor,\lceil\frac{n-1}{2}\rceil}^{r, r}$。一个有趣的现象是：谱极端图在 $r=0$ 与一般 $r\geq1$ 时完全不同。