非 $r$ 部图谱 Turán 类型问题：禁止广义书形状 $B_{r,k}$

给定图 $H$，若图不包含 $H$ 作为子图，则称为 $H$-free 图。若图删除某条边后色数下降，则称为色关键图。对于色数为 $r+1$ 的图 $H$，我们使用 $\text{spex}_{r+1}(n, H)$ 表示阶为 $n$ 的非 $r$ 部 $H$-free 图的最大谱半径。所有阶为 $n$ 且谱半径为 $\text{spex}_{r+1}(n, H)$ 的非 $r$ 部 $H$-free 图的集合记为 $\text{SPEX}_{r+1}(n, H)$。对于 $r\geq2$ 且 $k\geq1$，我们定义 $B_{r,k}$ 为由将 $K_r$ 的每个顶点连接到大小为 $k$ 的独立集中每个顶点的图。我们称 $B_{r,k}$ 为书形状（当 $r=2$ 时）或广义书形状（当 $r\geq3$ 时）。需要注意的是，$B_{r,k}$ 是一个色关键图，其色数为 $r+1$。Lin、Ning 与 Wu (2021) 确定了 $\text{SPEX}_3(n, B_{2,1})$ 中唯一的极端图；Li 与 Peng (2023) 确定了 $\text{SPEX}_{r+1}(n, B_{r,1})$ 中唯一的极端图，其中 $r\geq2$。最近，Liu 与 Miao (2025) 指定了 $\text{SPEX}_3(n, B_{2,k})$ 中唯一的极端图，其中 $k\geq2$。鼓舞于这些卓越成果之一，本文基于谱稳定性理论、局部结构特征分析以及特征方程和瑞利商方程理论，旨在确定 $r\geq3$、$k\geq1$ 且 $n$ 足够大的 $\text{SPEX}_{r+1}(n, B_{r,k})$ 中唯一的极端图。该工作部分解决了 [38] 中提出的开放问题。