色数至少为4的无三角形图的谱极值结果

若图不包含 $F$ 的副本，则称其为 $F$-free 图。设 $G(r,s)$ 表示 $n$ 阶且色数至少为 $s$ 的 $K_{r+1}$-free 图中使谱半径最大化者。Nikiforov [Linear Algebra Appl., 2007] 证明了谱 Tur\'{a}n 定理，该定理蕴含当 $s\leq r$ 时，$G(r,s)$ 即为 $r$ 部 Tur\'{a}n 图 $T_{n,r}$。Lin、Ning 和 Wu [Combin. Probab. Comput., 2021] 刻画了唯一的谱极值图 $G(2,3)$。该结果随后被 Li 和 Peng [SIAM J. Discrete Math., 2023] 推广至所有 $s=r+1\geq 3$ 的情形。在本文中，我们进一步推进了该刻画，对所有足够大的 $n$ 确定了唯一的极值图 $G(2,4)$。具体而言，我们证明 $G(2,4)$ 恰好是 Gr"{o}tzsch 图的 blow-up。有趣的是，在相同条件下，$G(2,4)$ 也与 Ren、Wang、Wang 和 Yang [arXiv:2404.07486v2] 所确定的唯一边极值图相一致。