蝴蝶结图的谱极值图

设 $F_k$ 为通过共享一个公共顶点由 $k$ 个三角形得到的（友谊）图。$F_k$-自由且阶为 $n$ 的图中达到最大谱半径的图首先由 Cioabă、Feng、Tait 和 Zhang [Electron. J. Combin. 27 (4) (2020)] 刻画，随后在 $n$ 充分大的条件下由 Zhai、Liu 和 Xue [Electron. J. Combin. 29 (3) (2022)] 唯一确定。本文在 $k=2$ 时去掉了 $n$ 充分大的条件。图 $F_2$ 也称为蝴蝶结图。我们证明：当 $n\ge 7$ 时，唯一的 $n$ 顶点 $F_2$-自由谱极值图是在较小顶点部中添加一条边的平衡完全二部图，且条件 $n\ge 7$ 是紧的。我们的结果是 Erdős、Füredi、Gould 和 Gunderson [J. Combin. Theory Ser. B 64 (1995)] 定理（其指出 $\mathrm{ex}(n,F_2)=\left\lfloor {n^2}/{4} \right\rfloor +1$）的谱推广。此外，我们研究了给定边数的 $F_k$-自由图的谱极值问题。特别地，我们证明：当 $m\ge 8$ 时，唯一的 $m$ 边 $F_2$-自由谱极值图是 $K_2$ 与一个含 $\frac{m-1}{2}$ 个顶点的独立集的联图，且条件 $m\ge 8$ 是紧的。