外平面图与平面图上的谱极值问题

令 $\emph{spex}_{\mathcal{OP}}(n,F)$ 和 $\emph{spex}_{\mathcal{P}}(n,F)$ 分别为所有 $n$ 个顶点且不含 $F$ 的外平面图和平面图中的最大谱半径。将 $tC_l$ 定义为 $t$ 个顶点不相交的 $l$-圈，$B_{tl}$ 为 $t$ 个边不相交的 $l$-圈共享一个公共顶点所得到的图 %$B_{tl}$ 为在 $tC_l$ 中将所有圈连接于单个顶点所得到的图，$(t+1)K_{2}$ 为 $t+1$ 个 $K_2$ 副本的不相交并集。在 20 世纪 90 年代，Cvetkovi\'c 和 Rowlinson 猜想 $K_1 \vee P_{n-1}$ 在 $n$ 个顶点的外平面图中使谱半径最大化，而 Boots 和 Royle（以及独立的 Cao 和 Vince）猜想 $K_2 \vee P_{n-2}$ 在平面图中使谱半径最大化。Tait 和 Tobin [J. Combin. Theory Ser. B, 2017] 确定了基本结构作为对足够大的 $n$ 证实这两个猜想的关键。最近，Fang 等人 [J. Graph Theory, 2024] 利用这一关键刻画了平面图中具有 $\emph{spex}_{\mathcal{P}}(n,tC_l)$ 的极值图。在本文中，我们首先关注外平面图，并采用类似方法描述具有 $\emph{spex}_{\mathcal{OP}}(n,F)$ 的连通极值图的关键结构，其中 $F$ 包含于 $K_1 \vee P_{n-1}$ 但不包含于 $K_{1} \vee ((t-1)K_2\cup(n-2t+1)K_1)$。基于此结构，我们确定了对于所有 $t\geq1$、$l\geq3$ 以及足够大的 $n$，$\emph{spex}_{\mathcal{OP}}(n,B_{tl})$ 和 $\emph{spex}_{\mathcal{OP}}(n,(t+1)K_{2})$ 及其唯一的极值图。此外，我们进一步将结果推广至平面图，刻画了对于所有 $t\geq3$、$l\geq3$ 以及足够大的 $n$，具有 $\emph{spex}_{\mathcal{P}}(n,B_{tl})$ 的唯一极值图。