阶数与边数的图的最大 $A_{\alpha}$-谱半径的极值图

1986 年，Brualdi 和 Solheid 首次提出确定由所有简单连通图组成的集合 $\mathcal{H}_{n,m}$ 中图的最大谱半径的问题，该集合包含 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的图，这是一个非常棘手的问题且远未解决。简单图的 $A_{\alpha}$-谱半径记为 $\rho_\alpha(G)$，是矩阵 $A_{\alpha}(G)$ 的最大特征值，后者定义为 $\alpha D(G)+(1-\alpha)A(G)$，其中 $D(G)$ 和 $A(G)$ 分别为 $G$ 的度对角矩阵和邻接矩阵。本文中，若 $r$ 为正整数，$n>30r$ 且 $n-1\leq m \le rn-\frac{r(r+1)}{2}$，我们描述了在集合 $\mathcal{H}_{n,m}$ 中具有最大 $A_{\alpha}$-谱半径的全部极值图。此外，Chang 和 Tam 提出的关于 $A_{\alpha}$-谱半径的问题[见 T.-C. Chang 和 B.-T. Tam, Graphs of fixed order and size with maximal $A_{\alpha}$-index. Linear Algebra Appl. 673 (2023), 69-100] 已被解决。