不含相交三角形/四边形作为次要结构的图的 α-指数

图 $G$ 的 $A_{\alpha}$-矩阵是邻接矩阵 $A(G)$ 与顶点度对角矩阵 $D(G)$ 的凸线性组合，即 $A_{\alpha}(G) = \alpha D(G) + (1 - \alpha)A(G)$，其中 $0\leq\alpha \leq1$。$G$ 的 $\alpha$-指数是 $A_\alpha(G)$ 的最大特征值。特别地，矩阵 $A_0(G)$（相应地 $2A_{\frac{1}{2}}(G)$）恰好是 $G$ 的邻接矩阵（相应地无符号拉普拉斯矩阵）。He、Li 和 Feng [arXiv:2301.06008 (2023)] 分别确定了在阶数足够大的、不含相交三角形和四边形作为次要结构的所有图中具有最大邻接谱半径的极值图。受 He、Li 和 Feng 上述结果的启发，本文分别刻画了对于任意 $0<\alpha<1$，在阶数足够大的、不含相交三角形和四边形作为次要结构的所有图中具有最大 $\alpha$-指数的极值图。作为副产品，我们分别确定了在阶数足够大的、不含相交三角形和四边形作为次要结构的所有图中具有最大无符号拉普拉斯半径的极值图。