关于给定阶数与分离数的图的 $A_\alpha$-指标

给定图 $G$，如果顶点子集导出的子图顶点度数最多为 1，且该子集具有最大基数，则称其为 $G$ 的最大分离集。最大分离集的基数称为 $G$ 的分离数。图 $G$ 的邻接矩阵和度对角矩阵分别记为 $A(G)$ 和 $D(G)$。2017 年，Nikiforov 提出了 $A_\alpha$-矩阵：$A_\alpha(G)=\alpha D(G)+(1-\alpha)A(G)$，其中 $\alpha\in[0,1]$。该新矩阵的最大特征值称为 $G$ 的 $A_\alpha$-指标。在本文中，我们首先在所有具有固定阶数和分离数的连通图（相应地，二部图、树）中，确定了具有最大 $A_\alpha$-指标的连通图（相应地，二部图、树）。其次，我们描述了所有具有分离数 $\tau$（其中 $\tau\geqslant\lceil\frac{2}{3}n\rceil$）且具有最小 $A_\alpha$-指标的 $n$ 顶点图的结构。最后，我们确定了所有分离数为 $\tau\in\{2,\lceil\frac{2}{3}n\rceil,n-1,n-2\}$ 且具有最小 $A_\alpha$-指标的 $n$ 顶点连通图。