图的$\alpha$-邻接能及其Zagreb指数

设$A(G)$为简单连通图$G$的邻接矩阵，$D(G)$为$G$的顶点度的对角矩阵。Nikiforov定义了$D(G)$与$A(G)$的凸组合矩阵$A_{\alpha}(G)=\alpha D(G)+(1-\alpha)A(G)$，其中$0\leq \alpha\leq 1$。若$\rho_{1}\geq \rho_{2}\geq \dots \geq \rho_{n}$为$A_{\alpha}(G)$的特征值（我们称之为$G$的$\alpha$-邻接特征值），则$G$的$\alpha$-邻接能定义为$E^{A_{\alpha}}(G)=\sum_{i=1}^{n}\left|\rho_i-\frac{2\alpha m}{n}\right|$，其中$n$为$G$的阶，$m$为$G$的边数。我们得到了$E^{A_{\alpha}}(G)$关于阶$n$、边数$m$以及关联于$G$结构的Zagreb指数$Zg(G)$的上界与下界。进一步，我们刻画了达到这些界的极值图。