图 $A_{\alpha}$ 能量的新型上、下界探索

设 $G$ 为 $n$ 个顶点、$m$ 条边的图。对于 $\alpha \in [0,1]$，图 $G$ 的 $A_{\alpha}$ 矩阵定义为 $A_{\alpha}(G) = \alpha D(G) + (1- \alpha) A(G)$，其中 $A(G)$ 为图的邻接矩阵，$D(G)$ 为图的度对角矩阵。若 $\rho_1 \geq \rho_2 \ldots \geq \rho_n$ 为 $A_{\alpha}(G)$ 的特征值，则图 $G$ 的 $A_{\alpha}$ 能量定义为 $E_{A_{\alpha}}(G) = \sum_{i=1}^{n} |\rho_i -\frac{2\alpha m}{n}|$。本文给出 $E_{A_\alpha}(G)$ 的新型上、下界，表述为标准图不变量，证明每个界限都尖锐，并指明实现界限的具体图。对于所选界限，我们提供简要的与现有结果的比较分析，观察到改进的估计。此外，我们在 $E_{A_\alpha}(G)$ 与其他众所周知的图能量之间建立了新关系，包括邻接能量、拉普拉斯能量以及折线图的邻接能量。