关于有向图的 $A_\alpha$ 谱半径与 $A_\alpha$ 能量

设 $G$ 为一个有向图，其邻接矩阵为 $A(G)$，出度对角矩阵为 $D(G)$。对任意实数 $\alpha\in[0,1]$，有向图 $G$ 的 $A_\alpha$ 矩阵 $A_\alpha(G)$ 定义为 $A_\alpha(G)=\alpha D(G)+(1-\alpha)A(G)$。$A_\alpha(G)$ 的模最大特征值称为 $G$ 的 $A_\alpha$ 谱半径。本文首先给出有向图 $A_\alpha$ 谱半径的一些上界，并刻画达到这些界的极图。此外，我们定义有向图 $G$ 的 $A_\alpha$ 能量为 $E^{A_\alpha}(G)=\sum\limits_{i=1}^n(\lambda^\alpha_i(G))^2$，其中 $n$ 为顶点数，$\lambda^\alpha_i(G)$ $(i=1,2,\ldots,n)$ 为 $A_\alpha(G)$ 的特征值。我们得到了 $E^{A_\alpha}(G)$ 的一个表达式，并给出 $E^{A_\alpha}(G)$ 的下界和上界，且刻画了达到下界和上界的极图。最后，我们分别刻画了在所有有向树和单圈有向图中具有最大和最小 $A_\alpha$ 能量的极图。